Meine Damen und Herren, nehmen Sie Platz.

Wir haben uns beim letzten Mal ja beschäftigt mit den Grundgleichungen der Continuum-Mechanik,

die ich da noch mal hingeschrieben habe. Das ist noch mal die Folie vom letzten Mal. Wir haben die

Impulsbilanz bzw. wenn die Beschleunigungen gleich Null sind, also rho U2 gepunktet gleich Null ist,

die Gleichgewichtsbedingungen an einem infinitesimalen kleinen Würfel, Divergent sigma plus b,

ist gleich Null. Wir haben die Drollbilanz bzw. das Momentengleichgewicht, die, wenn die Impulsbilanz

erfüllt ist, jeweils liefern, dass der Spannungstensor sigma symmetrisch ist. Dazu kommt die

lineare Verzerrungsverschiebungsrelation, das heißt wir werden nur kleine Verzerrungen hier angehen.

Also die Verzerrungen sind der symmetrische Anteil des Verschiebungsgradienten, also ein

halb Gradient U plus Gradient U transponiert, dieses Ui, J plus Uj, I halbe. Und wir haben ein

Stoffgesetz, in diesem Fall auch das Allereinfachste, dieses lineare elastische Stoffgesetz, das ist das

Huggsche Gesetz, das man in der Tensonatation so hinschreiben kann, mit zwei Konstanten,

Lambda und Mu, die beiden Lame-Konstanten, die man in E, den E-Modul und die Querkontraktionszahl Mu

umrechnen kann. Wenn ich jetzt in der Gleichgewichtsbeziehung bzw. in der Impulsbilanz

die Spannung durch die Dehnung ausdrücke, also Stoffgesetz einsetze und dann für die Dehnung die

Verzerrungs-Verschiebungsrelation einsetze, dann kann ich die Gleichgewichtsbedingungen,

bzw. die Impulsbilanz, komplett in Verschiebungen schreiben. Da ist also das einzige unbekannte

Größe, ist das Verschiebungsfeld, Vektor U und diese Gleichung nennt man die Navier-Kurushi-Gleichung.

Das ist die Differentialgleichung, die wir lösen möchten. Gut, dies sieht jetzt nicht besonders

schön aus und wir werden uns das etwas hübscher hinschreiben, indem wir auf eine Matrizenschreibweise

übergehen. Das kommt sowohl Ihnen als auch dem Computer entgegen und zwar fangen wir mal an,

mit dem Verzerrungstensor. Das Epsilon als Tensor, ich schreibe das jetzt mal schlampig hin,

wenn ich ein kathesisches Koordinatensystem habe, ist das ein 3 x 3 Tensor mit hier Einträgen Epsilon

x x Epsilon x y Epsilon x z Epsilon y x Epsilon y y Epsilon y z Epsilon z x Epsilon z y bis Epsilon z z.

Kann ich so hinschreiben, das ist also eine 3 x 3 Matrix mit, jetzt habe ich gesagt, durch die

Konstruktion, dass die Epsilon x y ein halb u x, y plus u y, x wäre, gilt offensichtlich,

dass Epsilon i j gleich Epsilon j i ist, beziehungsweise Epsilon gleich Epsilon transponiert,

also der ist symmetrisch. Das heißt, das Epsilon x y ist gleich dem Epsilon y x, das x z ist

gleich dem z x und dem Epsilon y z ist gleich dem Epsilon z y. Das heißt, von dieser 3 x 3 Matrix

mit ursprünglich 9 Einträgen sind nur 6 unabhängige. Das heißt, wegen Symmetrie nur 6 unabhängige

Einträge. Das heißt, es ist jetzt günstig, auf die sogenannte Fugtnotation überzuschwenken und

ein Vektor einzuführen, Epsilon als Vektor, also jetzt als Matrix, Spaltenmatrix, indem man nur

noch die 6 unabhängigen Größen einträgt. Und zwar ist die übliche Anordnung zunächst einmal

die Diagonalelemente, also die normalen Richtungen x x y y z z einzutragen und dann hier Gamma x y,

Gamma y z, Gamma z x einzutragen. Mit Gamma x y ist Epsilon x y plus Epsilon y x, bzw. 2 mal

Epsilon x y, weil die ja eh gleich sind. Y z ist Epsilon y z plus Epsilon z y und Gamma z x ist

gleich Epsilon z x plus Epsilon x z. Also man fasst die Diagonaleinträge hier zusammen und

führt die Summe der beiden ein. Das hat einen praktischen Grund, weil sich das nachher mit dem

Stoffgesetz leichter formulieren lässt. Wenn man gleich die Summe der Anteile hier nimmt, hat auch

den physikalischen Hintergrund, dass sie, wenn sie das messen wollen im Experiment, diese

Schubverzerrung, sie ohnehin nur diesen Winkel Gamma x y oder y z z x messen können und nicht

diese beiden Anteile getrennt voneinander. Sie können eh immer nur die Summe messen, weil wenn

ich hier so ein Rechteck hätte, dann wäre das sozusagen hier, wenn ich das so schere, ist das

schon Gamma. Das ist nicht Epsilon x y, sondern das ist schon die Summe aus den beiden, weil ich das

auch darstellen könnte als hier irgendwie so etwas. Dann hätte er dann hier diesen Anteil Epsilon y,

was ist das jetzt, x y und das ist Epsilon y x. Aber im Experiment ist das praktisch nur eine

Starkörperdrehung und sie können das nicht unterscheiden. Das heißt messen und für die

Praxis relevant ist ohnehin immer nur das Gamma, sodass man das da auch gleich zusammenfassen kann.

Egal. Die Reihenfolge dieser sechs Größen hier ist gängig, aber nicht die einzig mögliche.

Theoretisch können sie das anordnen, wie sie lustig sind in dieser Spalte, wenn sie es dann